Scripties

Splines2006

Een spline is een type wiskundige kromme met de volgende eigenschappen.

Om die reden zijn ze goed te gebruiken in bijvoorbeeld grafisch ontwerp of andere dingen waarvoor gladde krommen nodig zijn. Ze worden onder andere gebruikt in de volgende gebieden.

Splines zijn hun leven begonnen als Bézierkromme, eind jaren 1950 bedacht door de Fransman Paul de Casteljau en gepopulariseerd door Pierre de Bézier. Bron: Bézier curve: Wikipedia, the free encyclopedia (Engels).

Download Splines (pdf)

Kwadratische vormen2010

Er bestaat een formule voor het aantal manieren waarop een geheel getal n ≤ 0 te schrijven is als de som van vier kwadraten. Die formule is:

“Het aantal representaties r van n is 8 keer de som van alle delers d van n die zelf niet deelbaar zijn door 4.”

Dit is een beroemde formule, gevonden in 1770 door de wiskundige Joseph Lagrange en wordt de vierkwadratenstelling genoemd.

Voorbeeld

Om het aantal representaties van n = 40 te berekenen:

Die 144 manieren zijn:

De getallen (4, 4, 2, 2) zijn op 4! / 2!2! = 6 manieren van volgorde te verwisselen, en voor elk getal kun je wel of geen minteken zetten, dat geeft 6 × 24 = 96 representaties.

De getallen (6, 2, 0, 0) zijn op 4! / 2!1!1! = 12 manieren van volgorde te verwisselen, en voor elk niet-nul-getal kun je wel of geen minteken zetten, dat geeft 12 × 22 = 48 representaties.


De som van vier kwadraten schrijven we ook wel als r2 + s2 + t2 + u2. Dit is een voorbeeld van een kwadratische vorm in vier variabelen. De r(n) hierboven noemen we het representatieaantal van n voor de kwadratische vorm f(rstu) = r2 + s2 + t2 + u2 en bovenstaande formule noemen we dan een representatieformule.

Zo’n formule is te berekenen met modulaire vormen. Bovendien blijken er een heleboel andere kwadratische vormen te zijn - met specifieke eigenschappen - waarvoor je ook zo’n formule voor r(n) kan vinden. Het verhaal eindigt dan ook in een tabel met ongeveer 200 van zulke formules, waarvan er echter wel heel weinig zo mooi zijn als deze.

De term e(a, b, t) in de tabel staat voor de Eisensteinreeks van gewicht 2 met karakters (a|.) en (b|.) toegepast op qt.

Om de eigenschappen te kunnen geven die nodig zijn om zo’n formule te maken, moet eerst wat voorbereidend werk worden verricht, en wel binnen de volgende onderwerpen:

Helaas zijn de eigenschappen waaraan een kwadratische vorm moet voldoen om een gesloten formule voor de representatieaantallen mogelijk te maken, erg beperkend. Hierdoor zijn er slechts eindig veel kwadratische vormen die hieraan voldoen. Het is echter goed mogelijk dat er tussen de andere kwadratische vormen er een aantal bij zitten waar de representatieaantallen toevalligerwijs ook formuliseerbaar zijn.

Behalve representaties over de gehele getallen Z, kunnen we ook kijken naar representaties modulo een getal M door de kwadratische vorm als functie over de groep Z / M Z te bekijken. Ook dan kunnen we spreken over het aantal representaties. Ook hier zijn er gesloten formules te vinden, en die noemen we hier deltafuncties (dat is geen officiële naamgeving). Een belangrijk element in deze bespreking is Siegel's massaformule.

Download Kwadratische vormen (pdf)